Nombor boleh dikelaskan kepada set yang dipanggil sistem nombor. Untuk kaedah-kaedah menyatakan nombor dengan simbol, sila lihat sistem angka.

Nombor asli

Nombor-nombor yang paling biasa digunakan ialah nombor asli. Bagi sesetengah orang, nombor asli bermaksud integer bukan negatif, manakala untuk orang yang lain, istilah itu bermakna integer positif. Integer-integer bukan negatif dirujuk sebagai nombor bulat, manakala integer positif dirujuk sebagai nombor pembilang.

Dalam sistem penomboran asas sepuluh yang digunakan di hampir seluruh dunia, simbol-simbol untuk nombor asli ditulis dengan menggunakan sepuluh digit, iaitu 0 hingga 9. Suatu sistem nilai tempat tersirat yang bertambah dengan kuasa sepuluh digunakan untuk nombor yang lebih besar daripada sembilan. Oleh itu, nombor yang lebih besar daripada sembilan mempunyai angka yang dibentuk daripada dua or lebih digit. Simbol untuk set yang merangkumi semua nombor asli ialah N . {\displaystyle \mathbb {N} .}

Integer

Nombor negatif ialah nombor yang nilainya adalah kurang daripada sifar. Nombor ini biasa ditulis dengan menggunakan tanda negatif di hadapan nombor positif yang sepadan untuk menandakan lawannya. Umpamanya, jika satu nombor positif digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kanan titik tetap, nombor negatif akan digunakan untuk menandakan jarak di sebelah kiri. Serupa juga, jika satu nombor positif menandakan simpanan bank, jadi nombor negatif merujuk kepada pengeluaran wang daripada akaun bank itu. Apabila nombor bulat negatif dicantumkan dengan nombor bulat positif atau nombor sifar, seseorang akan mendapat integer Z {\displaystyle \mathbb {Z} } (bahasa Jerman: Zahl, bentuk jamak Zahlen).

Nombor nisbah

Nombor nisbah ialah nombor yang boleh diungkapkan sebagai pecahan yang terdiri daripada pengangka integer serta penyebut nombor asli yang bukan sifar. Pecahan m n {\displaystyle {\tfrac {m}{n}}} mewakili kuantiti yang diperoleh apabila sesuatu benda dibahagikan kepada n {\displaystyle n} bahagian yang sama. Dua pecahan yang berbeza boleh mempunyai nilai yang sama dengan satu nombor nisbah; umpamanya 1 2 {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}} dan 2 4 {\displaystyle {\tfrac {2}{4}}} adalah sama. Jika nilai mutlak untuk m {\displaystyle m} adalah lebih besar daripada n {\displaystyle n} , nilai mutlak untuk pecahan itu adalah lebih besar daripada satu. Pecahan boleh mempunyai nilai positif, negatif, atau sifar. Set untuk semua pecahan merangkumi semua integer kerana setiap integer boleh ditulis sebagai satu pecahan dengan penyebut 1. Simbol untuk nombor nisbah ialah huruf tebal Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (untuk quotient dalam bahasa Inggeris, iaitu hasil bahagi).

Nombor nyata

Dengan kurang tepat, nombor-nombor nyata boleh dianggap sebagai sama sahaja dengan titik-titik pada garis selanjar. Semua nombor nisbahadalah nombor nyata dan seperti dengan nombor nisbah, nombor nyata boleh dikelaskan, baik sebagai positif, sifar, mahupun negatif. Nombor nyata boleh dicirikan dengan unik melalui sifat matematiknya: nombor ini adalah medan tertib lengkap yang tunggal. Bagaimanapun, nombor nyata bukannya suatu medan tertutup algebra.

Angka-angka perpuluhan adalah lagi satu cara untuk mengungkapkan nombor. Dalam sistem nombor asas sepuluh, nombor ini ditulis sebagai rentetan angka, dengan satu titik (titik perpuluhan) (umpamanya di Amerika Syarikat dan United Kingdom) atau dengan satu koma (umpamanya di benua Eropah) di sebelah kanan tempat nilai-nilai satu; nombor nyata negatif ditulis dengan tanda minus di hadapan. Sesuatu angka perpuluhan yang mentakrifkan nombor rasional boleh berulang-ulang atau tamat (walaupun seberapa banyak nombor sifar boleh ditambah), walaupun sifar ialah nombor nyata yang tunggal yang tidak boleh ditakrifkan melalui angka perpuluhan yang berulang-ulang. Umpamanya, pecahan 5 4 {\displaystyle {\tfrac {5}{4}}} boleh ditulis sebagai angka perpuluhan 1.25 yang tamat, atau sebagai angka perpuluhan 1.24999... (angka-angka sembilan yang berterusan) yang berulang-ulang. Pecahan 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} hanya boleh ditulis dengan 0.3333... (angka-angka tiga yang berterusan) yang berulang-ulang. Semua angka perpuluhan yang berulang-ulang atau tamat mentakrifkan nombor nyata yang juga boleh ditulis sebagai pecahan; 1.25 = 5 4 {\displaystyle {\tfrac {5}{4}}} dan 0.3333... = 1 3 {\displaystyle {\tfrac {1}{3}}} . Sebaliknya, angka-angka yang tidak berulang-ulang atau tidak tamat mewakili nombor bukan nisbah, iaitu nombor-nombor yang tidak boleh ditulis sebagai pecahan. Umpamanya pemalar-pemalar matematik yang terkenal seperti π (pi) dan 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} , punca kuasa dua 2, adalah nisbah; serupa juga dengan nombor nyata yang diungkapkan oleh angka perpuluhan 0.101001000100001... kerana ungkapan ini tidak berulang atau tamat.

Nombor-nombor nyata terdiri daripada semua nombor yang boleh diungkapkan melalui angka perpuluhan, baik nombor nisbah mahupun nisbah. Simbol untuk nombor nyata ialah R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Nombor-nombor nyata telah dipergunakan untuk mewakili ukuran, dan adalah sama dengan titik-titik pada garis nombor. Oleh sebab ukuran-ukuran hanya dibuat pada tahap ketepatan yang tertentu, jidar selisih selalu wujud apabila nombor nyata digunakan untuk mewakilinya. Ini sering diolahkan dengan menentukan bilangan angka bererti yang sesuai.

Nombor kompleks

Beralih ke tahap pengabstrakan yang lebih tinggi, nombor-nombor nyata boleh diperluas supaya merangkumi nombor-nombor kompleks C . {\displaystyle \mathbb {C} .} Dari segi sejarah, set nombor muncul daripada soalan bolehkah nombor negatif mempunyai punca kuasa dua. Daripada masalah ini, satu nombor baru telah ditemui: punca kuasa dua negatif satu. Nombor ini ditandakan dengan simbol i {\displaystyle i} yang diberikan oleh Leonhard Euler.

Nombor-nombor kompleks terdiri daripada semua nombor dengan bentuk a + b i {\displaystyle a+bi} , dengan a {\displaystyle a} dan b {\displaystyle b} merupakan nombor-nombor nyata. Jika a {\displaystyle a} ialah sifar, maka a + b i {\displaystyle a+bi} dipanggil nombor khayalan. Serupa juga, jika b {\displaystyle b} ialah sifar, maka a + b i {\displaystyle a+bi} ialah nombor nyata kerana tidak adanya komponen khayalan. Sesuatu nombor kompleks yang mempunyai a {\displaystyle a} dan b {\displaystyle b} sebagai integer dipanggil integer Gaussan. Nombor-nombor kompleks merupakan medan tertutup algebra, iaitu setiap polinomial dengan koefisien kompleks boleh difaktorkan menjadi faktor-faktor linear yang mempunyai koefisien-koefisien kompleks. Nombor-nombor kompleks adalah sepadan dengan titik-titik pada satah kompleks.

Setiap sistem nombor yang disebut di atas adalah subset bagi sistem nombor yang berikut. Secara simbol, ini diwakili sebagai: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C . {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} .}